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十进位制和二进位制  

2011-11-16 20:20:15|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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十进位制和二进位制

    “这是上帝的语言。”

(德)莱布尼茨

    从古到今的数学运算很大程度上是依靠了十进位制的伟大发明;而当今几乎主宰了生产和生活的一切领域的计算机靠的是二进位制才形成了它的千变万化。这两种进位制的发明和确定,都和古代中国人的探索、创造有关。

    正整数逢十进一位,逢百进二位,逢千进三位,这种以十为基数的十进位制,今天看起来是十分简单合理、自然而然的事情,但是人类还是经过艰辛探索才创造了这种进位制的。数字在中国出现,是在6000年前的新石器时代的晚期,那时用结绳、契木的方式计数。6000多年前的半坡遗址出土的陶片,上面已经出现了数字;距今4000年左右的陕西、山东、上海的出土文物中除表示个位的数字外,已经有10、20、30这样的记号,表示当时已经使用十进位制。殷商时代的甲骨文上的13个计数文字中,除九个可以确定是个位数之外,还有四个就是十、百、千这样的位值符号。甲骨文计数系统属于十进位制成法分群数列,这种数系由1—9九个数字和若干个十进位制的位值符号组成。计数时先将两组符号通过乘法结合起来以表示位值的若干倍,然后将分群后的位值符号组合(相加)起来。在出土的公元前13世纪的甲骨文中已经有“五百四十七天”的记载,《易经》中更有“万有一千五百二十”这样的记载。甲骨文的计数方式一直延续到现代。现代中国数字一二三四五六七八九○,在唐代以前就已经形成,唐代还全面使用了大写数字壹贰叁肆伍陆柒捌玖零,用在比较正规的场合,又叫做“官文书数字”。在确立了十进位制之后,古代中国还对数的概念进行了扩展,创造出了分数、小数、负数的概念,虽然分数线、小数点、负号不是中国的发明,但是对数的性质的认识,对数的概念的拓展,还是古代中国的天才创造。

 

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甲骨文数字

    中国使用十进位制在全世界最早。十进位制之所以在中国最早出现,和中国固有的文化是分不开的,汉字是方块字而不是拼音文字,极大地促进了十进位制的形成。据史料记载,古代巴比伦人一直像后来的罗马数码那样,用相加或累积计数,古埃及和古希腊也都是用特殊的记号来表示20、30、40等10的倍数,比如古希腊半岛采用27个字母计数法,从1—9用九个字母表示,10—90再用另外九个字母表示,100—900用剩下的九个字母表示,这种笨拙的特殊位值十进制计数法一直延续到文艺复兴前夕。印度人在公元6世纪才开始使用十进位制。而欧洲人正式采用十进位制的最早证据,是公元976年的一份西班牙文的抄本。十进位制是中国对人类作出的不可磨灭的重大贡献。正如李约瑟博士所说:“如果没有这种十进位制,就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了。”

 

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东汉时期的乘法口诀画像砖

    众所周知, 二进位制是电子计算机的运算基础,而二进位制的发明人是德国杰出数学家莱布尼茨(G.W.Leibniz,1646—1716),不过他发明二进位制是受了中国古代“先天八卦”的启发。易经八卦相传是伏羲画卦,周文王重卦,太公作爻辞,是一双鱼太极图,四周围绕有乾坎震艮巽离坤兑八卦,这八卦就是由长短划不同排列组合而成的符号。它的象征意义是无极生太极,太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦,八卦生六十四卦。每一卦都是由阳爻(—)和阴爻(--)构成。如果以阳爻(—)为1,以阴爻(--)为0,按照二进位制的逢2进1的规则,则这从乾到坤的64卦均可以用0和1两个数字表示出来。如第一卦乾卦为111111=63,第二卦为011111=62,第三卦为101111=61,这样排列下去,第六十二卦为010000=2,第六十三卦为100000=1,最后一卦为000000=0。统观这从乾到坤的六十四卦的排列,其二进位制数序排列恰好为从63—0的自然数顺序排列,真是天衣无缝,巧夺天工!当时,德国大数学家、微积分和数理逻辑的创始人莱布尼茨正在为创造一部乘法机而遇到困难,一筹莫展,正好他的朋友、到中国去传教的教士白晋(J.Bouvet,1655—1730)从中国归来,带来了《六十四卦次序图》和《六十四卦方位图》,莱布尼茨如获至宝,顿时感到阴阳两个对立矛盾的面千变万化的奇妙,对易经和八卦以及它最初的发明者伏羲充满敬意,受到点拨和启发,产生了他的二进位制的最早灵感。1703年莱布尼茨在《皇家科学院纪录》杂志发表了《二进位算术的解说——它只用0和1并论述其用途,以及伏羲氏所用的古代中国数学的意义》,论述了他的二进位制思想。他认为,“只有0和1的二进位制不但具有简洁的形式,更可以表示宇宙间所有的量。这是上帝的语言!所有的数通过1和0的方式表达,是何等美妙!”早在莱布尼茨之前,北宋的哲学家邵雍(1011—1077)就在他研究《易经》的著作中提出了比较完备的二进位制思想,可惜他的二进位制思想没有传播开来。

 

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《天问图》,明萧云从作,周围是八卦符号。

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